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<!DOCTYPE html>

<title>Subharmonische Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Subharmonische Funktion</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> bezeichnen subharmonische und superharmonische Funktionen wichtige Klassen von <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a>, die ihre Anwendungen in der Theorie <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">Partieller Differentialgleichungen</a>, <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> und <a href="Potentialtheorie" title="Potentialtheorie">Potentialtheorie</a> haben.

Subharmonische Funktionen sind zu <a href="Konvexe_Funktion" class="mw-redirect" title="Konvexe Funktion">konvexen Funktionen</a> einer Variable folgendermaßen verbunden: Wenn der Graph einer konvexen Funktion und eine Gerade sich an zwei Punkten schneiden, ist der Graph der konvexen Funktion unter der Geraden zwischen diesen beiden Punkten. Auf die gleiche Art sind die Werte einer subharmonischen Funktion im Inneren einer <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a> nicht größer als die einer <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonischen Funktion</a>, wenn dies für den <a href="Rand_(Topologie)" title="Rand (Topologie)">Rand</a> der Kugel gilt. Durch diese Eigenschaften können subharmonische Funktionen definiert werden.

Superharmonische Funktionen können auf die gleiche Art definiert werden, wobei „nicht größer“ durch „nicht kleiner“ ersetzt wird. Alternativ kann eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als superharmonisch definiert werden, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0edfedee3fca0a26dd6f515e7ed9517a4e2cd04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.087ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -f}" loading="lazy"> subharmonisch ist. Daher kann jede Eigenschaft subharmonischer Funktionen leicht auf superharmonische Funktionen übertragen werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Definition">Formale Definition</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> eine Teilmenge des <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">Euklidischen Raums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a87a5c82f1e50d41db5327231c2224ae8a607a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}" loading="lazy"> und sei

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf95a1f157cba17f53ea0b9ed7313d851166b8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine <a href="Oberhalbstetig" class="mw-redirect" title="Oberhalbstetig">oberhalbstetige Funktion</a>. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> subharmonisch, falls für jede abgeschlossene Kugel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7c05f118010a4e757c6595b57258365b653aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.101ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}" loading="lazy"> mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> und für jede reellwertige, <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetige</a> Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7c05f118010a4e757c6595b57258365b653aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.101ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}" loading="lazy">, die harmonisch in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(x,r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(x,r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6718cd8b94cb100c50abd86c449a4c8a24a6b3a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(x,r)}" loading="lazy"> ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32ce291357032b758fb0cff0bc60f84301db1ad0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> auf dem Rand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial B(x,r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial B(x,r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8300196a6b73c114523f03cbe472227c3fd4ae0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.304ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial B(x,r)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(x,r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(x,r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6718cd8b94cb100c50abd86c449a4c8a24a6b3a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(x,r)}" loading="lazy"> erfüllt, stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32ce291357032b758fb0cff0bc60f84301db1ad0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.887ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in B(x,r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in B(x,r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db23661fff8415a68ca04dc61ddf82aa7c19928.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y\in B(x,r)}" loading="lazy"> gilt.

Damit ist auch die Funktion, die identisch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca2608c4b5fd3bffc73585f8c67e379b4e99b6f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\infty }" loading="lazy"> ist, subharmonisch. Allerdings schließen manche Autoren diesen Fall per Definition aus.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Eine oberhalbstetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c82a22cb0c8563d50b71d65b09b341c6b6b98664.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}" loading="lazy"> ist genau dann subharmonisch, wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d7e0b51bd905f35d11790939139d18014f8b017.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.997ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in G}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}\subseteq G}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}\subseteq G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15f1d1530de896a545dd512105f370f02af0e819.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.026ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}\subseteq G}" loading="lazy"> gilt</li></ul>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)\leq {\frac {1}{|\partial B(x,r)|}}\int _{\partial B(x,r)}\varphi (s)d\eta ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dae8627f7253846c89f7ff5859e03114400771a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:33.54ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)\leq {\frac {1}{|\partial B(x,r)|}}\int _{\partial B(x,r)}\varphi (s)d\eta ,}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04e0d9a805af81522c8280036cb528cc11adbb74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d\eta }" loading="lazy"> das <a href="Oberfl%C3%A4chenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Oberflächenmaß">Oberflächenmaß</a> bezeichnet. Dies bedeutet, dass eine subharmonische Funktion an keinem Punkt größer als das <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetische Mittel</a> ihrer Werte auf einem Kreis um diesen Punkt ist.</dd></dl>

<ul><li>Das Maximum einer subharmonischen Funktion kann nicht im Inneren ihres Definitionsbereichs angenommen werden, falls die Funktion nicht konstant ist. Dies ist das sogenannte <a href="Maximumprinzip_(Mathematik)" title="Maximumprinzip (Mathematik)">Maximumprinzip</a>, das unmittelbar aus der vorangehenden Eigenschaft folgt.</li>

<li>Eine Funktion ist genau dann harmonisch, wenn sie sowohl subharmonisch als auch superharmonisch ist.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> <a href="Differenzierbar" class="mw-redirect" title="Differenzierbar">zweimal stetig differenzierbar</a> auf einer <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offenen</a> Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ist, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> subharmonisch genau dann, wenn</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \varphi \geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4a99d4dd8ba743389e66ad1b31d4df98f68b34d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.717ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \varphi \geq 0}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> gilt,</dd></dl></dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> den <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> bezeichnet.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Subharmonische_Funktionen_in_der_komplexen_Zahlenebene">Subharmonische Funktionen in der komplexen Zahlenebene</h2></div>

Subharmonische Funktionen sind in der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> vom besonderen Interesse, da sie eng mit <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">holomorphen Funktionen</a> verbunden sind.

Eine reellwertige, stetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> einer komplexen Variablen (d. h. von zwei reellen Variablen), die auf einer offenen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecbf949b480c4f7be87bfc6792e6588bd2f70b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.603ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }" loading="lazy"> definiert ist, ist genau dann subharmonisch, wenn für jede abgeschlossene Kreisscheibe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(z,r)\subset G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(z,r)\subset G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/585999706ebb8c97490de5a2ecff9cc6babaf8f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.829ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(z,r)\subset G}" loading="lazy"> mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> gilt

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })d\theta .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22161b98c0ebb17d517d37f2a12b9ed63aa60a17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.995ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })d\theta .}" loading="lazy"></dd></dl>

Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine holomorphe Funktion ist, dann ist

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/171a615b485bdee1673d37de0b5782baefb7716c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}" loading="lazy"></dd></dl>

subharmonisch, wenn man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/329275ab4ea8747ba285ee26e5c1b099f8eb3a36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (z)}" loading="lazy"> an den Nullstellen auf −∞ setzt.

In der komplexen Zahlenebene kann die Verbindung zu den konvexen Funktionen auch durch den Fakt begründet werden, dass eine subharmonische Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf einem Gebiet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecbf949b480c4f7be87bfc6792e6588bd2f70b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.603ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }" loading="lazy">, die konstant in Richtung der Imaginärachse ist, konvex in Richtung der reellen Achse ist, und andersherum.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Stochastik">Stochastik</h2></div>

In der Markov-Theorie werden superharmonische Funktionen verwendet.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> der Übergangsoperator, so ist eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> superharmonisch genau dann, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Pf\leq f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Pf\leq f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bb7465e99b27a6abb4be32d59d8f66e0efa3bf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.401ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Pf\leq f}" loading="lazy">. Statt superharmonisch wird auch der Begriff exzessiv benutzt.

Die kleinste superharmonische bzw. exzessive Funktion, die die Auszahlungsfunktion majorisiert, ist der Wert des Spiels.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quellen">Quellen</h2></div>

<ul><li>John B. Conway: Functions of One Complex Variable. 1. Band 2. edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90328-3 (Graduate Texts in Mathematics 11).</li>

<li><a href="Joseph_L._Doob" title="Joseph L. Doob">Joseph L. Doob</a>: Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1984, ISBN 3-540-90881-1 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 262).</li>

<li><a href="Steven_G._Krantz" title="Steven G. Krantz">Steven G. Krantz</a>: Function Theory of Several Complex Variables. 2. edition, reprinted with corrections. AMS Chelsea Publishing, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2724-3.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>